Pendahuluan
Induksi matematika merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang dipelajari oleh siswa kelas 11. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya, yang dapat membantu siswa memahami konsep ini dengan lebih baik.
Apa itu Induksi Matematika?
Induksi matematika adalah metode matematika yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Metode ini terdiri dari dua langkah, yaitu langkah induksi dan langkah basis. Langkah induksi digunakan untuk membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk suatu bilangan bulat tertentu, sedangkan langkah basis digunakan untuk membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk bilangan bulat pertama.
Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11
Berikut adalah contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya:
-
Contoh Soal 1:
Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Langkah basis: Untuk n = 1, kita memiliki 1 = 1(1+1)/2, yang benar.
Langkah induksi: Anggap pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2. Kemudian kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = (k+1)((k+1)+1)/2. Dengan menggunakan asumsi induksi, kita bisa menuliskan 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n = k+1.
-
Contoh Soal 2:
Buktikan bahwa 2^n > n^2 untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5.
Jawaban:
Langkah basis: Untuk n = 5, kita memiliki 2^5 > 5^2, yang benar (32 > 25).
Langkah induksi: Anggap pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu 2^k > k^2. Kemudian kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 2^(k+1) > (k+1)^2. Dengan menggunakan asumsi induksi, kita bisa menuliskan 2^(k+1) = 2*2^k > 2*k^2 (karena 2^k > k^2 berdasarkan asumsi induksi) > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n = k+1.
Penutup
Dengan memahami contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya, diharapkan siswa dapat lebih menguasai konsep ini dan dapat mengaplikasikannya dalam penyelesaian permasalahan matematika yang lebih kompleks.
FAQ
Berikut adalah beberapa pertanyaan umum yang sering diajukan tentang induksi matematika:
-
1. Apa pentingnya memahami induksi matematika?
Induksi matematika merupakan metode penting dalam pembuktian matematika. Memahami konsep ini akan membantu siswa dalam memahami berbagai teorema dan konsep matematika lainnya.
-
2. Apa saja langkah-langkah dalam induksi matematika?
Langkah-langkah dalam induksi matematika terdiri dari langkah basis (base step) dan langkah induksi (inductive step).
-
3. Bagaimana langkah basis dalam induksi matematika?
Langkah basis dalam induksi matematika digunakan untuk membuktikan bahwa pernyataan yang ingin dibuktikan benar untuk bilangan bulat pertama.
-
4. Apa yang dimaksud dengan langkah induksi dalam induksi matematika?
Langkah induksi dalam induksi matematika digunakan untuk membuktikan bahwa jika pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat, maka pernyataan tersebut juga benar untuk bilangan bulat berikutnya.
