Dalam matematika, turunan memiliki peranan yang sangat penting dalam menentukan gradient atau tingkat perubahan suatu fungsi. Aplikasi turunan dapat ditemui dalam berbagai bidang, seperti fisika, kimia, ekonomi, dan lain sebagainya. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal aplikasi turunan beserta jawabannya untuk memperdalam pemahaman kita akan konsep ini.
Contoh Soal 1
Contoh Soal: Sebuah mobil sedang melakukan pergerakan lurus dengan persamaan kecepatan v(t) = 3t2 – 6t + 5, di mana t adalah waktu dalam detik. Tentukan percepatan mobil pada saat t = 2 detik.
Jawaban: Untuk menentukan percepatan mobil, kita perlu menghitung turunan pertama dari persamaan kecepatan terhadap waktu, yakni v'(t). Turunan pertama dari v(t) adalah v'(t) = 6t – 6. Kemudian kita substitusikan nilai t = 2 detik ke dalam persamaan ini, sehingga didapatkan v'(2) = 6(2) – 6 = 6 detik/detik = 6 m/s2. Jadi, percepatan mobil pada saat t = 2 detik adalah 6 m/s2.
Contoh Soal 2
Contoh Soal: Sebuah balon udara panas sedang naik ke atas dengan persamaan ketinggian h(t) = 4t3 – 12t2 + 10t + 5, di mana t adalah waktu dalam detik. Tentukan kecepatan naik balon pada saat t = 3 detik.
Jawaban: Untuk menentukan kecepatan naik balon, kita perlu menghitung turunan pertama dari persamaan ketinggian terhadap waktu, yakni h'(t). Turunan pertama dari h(t) adalah h'(t) = 12t2 – 24t + 10. Kemudian kita substitusikan nilai t = 3 detik ke dalam persamaan ini, sehingga didapatkan h'(3) = 12(3)2 – 24(3) + 10 = 90 detik/menit = 90 m/min. Jadi, kecepatan naik balon pada saat t = 3 detik adalah 90 m/min.
Contoh Soal 3
Contoh Soal: Sebuah tabung berbentuk silinder dengan jari-jari r cm dan tinggi h cm sedang diisi air pada laju konstan melalui pipa dengan diameter 2 cm. Semua dimensi dalam cm. Jika tinggi air di dalam tabung saat itu adalah y cm, tentukan laju perubahan volume air dalam tabung terhadap waktu t jika y = 5, r = 3, dan h = 10 ketika t = 2.
Jawaban: Untuk menentukan laju perubahan volume air dalam tabung, kita perlu menghitung turunan dari volume air terhadap waktu, yakni V'(t). Volume air dalam tabung dapat dihitung menggunakan rumus V = πr2y. Turunan dari V terhadap t adalah V'(t) = πr2y'(t). Dengan substitusi nilai y = 5, r = 3, dan h = 10 ketika t = 2, kita dapat menghitung V'(2) = π(3)2y'(2) = 9πy'(2). Selanjutnya, kita perlu menentukan nilai y'(2) dengan memanfaatkan informasi bahwa laju konstan melalui pipa dengan diameter 2 cm, sehingga luas penampang pipa adalah A = πr2. Laju perubahan tinggi air terhadap waktu diperoleh dari perbandingan laju perubahan volume air terhadap waktu dengan luas penampang pipa, yakni y'(t) = A/V'(t). Dengan substitusi nilai t = 2, kita dapat menghitung nilai y'(2) = A/V'(2) = A/(π(3)2y'(2)) = 2/(9πy'(2)). Jadi, laju perubahan volume air dalam tabung terhadap waktu t saat y = 5, r = 3, dan h = 10 ketika t = 2 adalah 9πy'(2).
Kesimpulan
Dari contoh soal di atas, kita dapat melihat bagaimana aplikasi turunan digunakan dalam menyelesaikan masalah nyata dalam berbagai bidang. Kemampuan untuk menghitung turunan dari suatu fungsi dan menerapkan konsep ini dalam memecahkan masalah merupakan keterampilan yang sangat penting dalam matematika dan aplikasinya dalam ilmu pengetahuan lainnya.
FAQ
1. Apa itu turunan?
Turunan adalah konsep dalam matematika yang menggambarkan tingkat perubahan suatu fungsi. Turunan dari suatu fungsi f(x) dilambangkan dengan f'(x) atau df/dx.
2. Mengapa penting untuk mempelajari aplikasi turunan?
Aplikasi turunan sangat penting karena memungkinkan kita untuk menghitung tingkat perubahan suatu besaran dalam konteks nyata, seperti kecepatan, percepatan, laju perubahan, dan sebagainya.
3. Bagaimana cara menghitung turunan?
Untuk menghitung turunan suatu fungsi, kita dapat menggunakan aturan-aturan turunan seperti aturan rantai, aturan produk, dan aturan kuadratik, serta penerapan limit dalam kalkulus.
